在 拓撲學 和其相關的 數學 領域裡， 拓撲比較 是指在同一個給定的集合上的兩個 拓撲結構 之間的關係。在一給定的集合上的所有拓撲會形成一個 偏序集合 。此一 序關係 可以用來做不同拓撲之間的比較。 定義 — T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 和 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 都是 X {\displaystyle X} 的拓扑，若 T 1 ⊆ T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\subseteq {\mathfrak {T}}_{2}} 称 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 比 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 更 细 （fine）或更 強 （strong），或称 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 比 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 更 粗 （coarse）或更 弱 （weak）。 進一步的，若 T 1 ⊂ T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\subset {\mathfrak {T}}_{2}} ，称 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 比 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 嚴格细 （strictly fine），或称 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 比 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 嚴格粗 （strictly coarse）。 [ 1 ] 直觀上， T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 有更多甚至是「更小」的鄰域去逼近拓撲空間中的一點，所以相較之下，其拓撲結構比較「細緻」。但在 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 意義下定義的 「極限」要求在更多的鄰域都要能找到逼近點，所以其拓撲結構在收斂的意義下比較「強」。至於 嚴格 細或粗，就是額外要求 T 1 ≠ T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\neq {\mathfrak {T}}_{2}} 。 二元關係 ⊆ {\displaystyle \subseteq } 在 X {\displaystyle X} 所有的拓撲所組成的集合上定義了一個 偏序集合 。 X {\displaystyle X} 的拓扑裡，最粗的是由空集和全集两个元素构成的： 而最细的拓扑是 离散拓扑 （discrete topology），也就是 X {\displaystyle X} 的 冪集 ： 定理 — 設 F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 是 X {\displaystyle X} 的一個 子集族 ，則： 也是 X {\displaystyle X} 的 拓扑 。 根據定理的條件，對所有 集合 A {\displaystyle A} 有： 以下將逐條檢驗 拓扑 的定義，來驗證 τ F {\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}} 的確是 X {\displaystyle X} 的 拓扑 ： (1) X , ∅ ∈ τ F {\displaystyle X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}} 若 T {\displaystyle {\mathfrak {T}}} 的確是 X {\displaystyle X} 的 拓扑 ，那由 拓扑 的定義可以得到 X , ∅ ∈ T {\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {T}}} ，這樣從式(a)右方就可以得到 X , ∅ ∈ τ F {\displaystyle X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}} 。 (2) U , V ∈ τ F {\displaystyle U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}} 則 U ∩ V ∈ τ F {\displaystyle U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}}

若 U , V ∈ τ F {\displaystyle U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}} ，從式(a)左方有： 這樣從式(a)右方就可以得到 U ∩ V ∈ τ F {\displaystyle U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}} 。 (3) G ⊆ τ F {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}} 則 ⋃ G ∈ τ F {\displaystyle \bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}} 若 G ⊆ τ F {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}} ，那對任意 g ∈ G {\displaystyle g\in {\mathcal {G}}} ，從式(a)左方有： 所以從式(a)右方可以得到 ⋃ G ∈ τ F {\displaystyle \bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}} 。 綜上所述，來驗證 τ F {\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}} 的確是 X {\displaystyle X} 的 拓扑 。 ◻ {\displaystyle \Box } 根據以上的定理，可以做以下的定義： 定義 — F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 是 X {\displaystyle X} 的一個 子集族 ，則： 稱為包含 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的 最粗拓撲 （或 最弱拓撲 ）。 初拓撲 －可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中，最粗糙的拓撲。 終拓撲 －可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中，最精細的拓撲。 ^ Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . 2000: 77 –78. ISBN 0-13-181629-2 . 邻域 · 内部 · 邊界 · 外部 · 极限点 · 孤点